هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه ی سر سبز آرامش خود را باز می یابد ، در عین حال ، به فکر فرو می رود . شاعر احساس درونی خود را بیان می کند . نقاش با قلم و بوم خود تلاش می کند که دیگران را در شادی خود شریک کند .گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر در رده های خاصی می رود . زبان شناس می خواهد ریشه و سر چشمه ی نام گذاری گیاه و دلیل آن را پیدا کند . داروشناس در جستجوی ویژگی درمانی گیاه است و ریاضی دان نحوه ی قرار گرفتن گل و گلبرگ ها یا اندازه و شکل ها را مورد مطالعه قرار می دهد . ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان و اگر بخواهیم برخورد انسان با گیاه را بررسی کنیم ناچاریم ، به همه ی این جنبه ها توجه داشته باشیم .

اگر این را بپذیریم که ، تصور و خیال ، یکی از سرچشمه های اصلی آفرینش های هنری است ، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که ، در ریاضیات هم ، دست کم عنصر های زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه ی اصلی کشف های ریاضی ، همان تصور و خیال است. به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده ی « دفاتر فلسفی » ، تصور و خیال « حتی در ریاضیات هم لازم است ، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، بدون تصور و خیال ، ممکن نبود . » با هیچ نیرنگی ، نمی توان از کشش انسان ها به سمت زیبایی ها جلوگیری کرد و آن چه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی ها کرد . آدمی ، از همان روزهایی که می شنود ، می بیند و درک می کند ، از موسیقی و نقاشی و شعر لذت می برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز موسیقی ، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه هنرمندانه قالی های دست باف باشد و چه ظرافت ها و رنگ های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود می کشاند و غرق در آرامش و لذت می کند . ولی همه ی این ها ، یک شرط اساسی دارد و آن ، این است که با آفریده ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه ، حرکات ناشیانه، روح شما را می آزارد و ردیف بی ربط واژه های شعر سخن ناشناس ، شما را بیزار و کسل می کند . در واقع تمامی عرصه ی ریاضیات ، سرشار از زیبایی و هنر است . زیبایی ریاضیات را می توان ، در شیوه ی بیان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ی آن ، در استدلال های منطقی آن ، در رابطه ی آن با زندگی و واقعیت ، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد .

 هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمینه ای است سر شار از زیبایی ، می گویند . افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می دانست و چون ، گمان می کرد تنها هندسه است که می تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود . » نشان دادن فیلم ها و اسلاید ها از چند وجهی های افلاتونی و چند وجهی های نیمه منتظم ، به ویژه اگر همراه با توضیح ساختمان بلور ها و دانه های برف باشد ، می توانند وسیله ی بسیار خوبی ، برای بیدار کردن احساس زیبایی دوستی دانش آموزان باشد .

در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتر برابر با حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، می گویند که : « پاره خط را به نسبت طلایی تقسیم کردیم . » تقسیم پاره خط به نسبت طلایی، از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضی دانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می دانسته اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضی دانان باستانی را تایید کند. درباره ی نسبت طلایی باید یاد آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می کرده اند . از همان دوران باستان ریاضی دانان در جست و جوی زیباترین راه حل برای مسأله ها بوده اند . در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می کنند . معلم ابتدا مسأله را به طریق عادی حل می کند و سپس راه حل هوشمندانه و ساده ای را برای حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان می دهند . از ساده ترین مسأله هایی که در دبستان مطرح می شود ، تا دشوارترین مسأله های سال آخر دبیرستان ، می توان از این شیوه استفاده کرد .

ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد .

يك شركت هواپيمايي براي بهترين استفاده از ناوگان خود بايد برنامه هاي تعمير و نگهداري و برنامه هاي پروازش را به دقت تنظيم كند. كاركنان زميني اضافي و تعويض گروه هاي پرواز و غيره را زمان بندي كند. اين ها مسائل مشكل پژوهش عملي هستند كه معادلاتي با چند هزار مجهول را دخالت مي دهند. مسائل سازماندهي و برنامه ريزي كه در يك شركت هواپيمايي مطرح است را پژوهش عملياتي يا تحقيق در عمليات يعني قلمرو مورد علاقه ده ها هزار رياضيدان و مهندس در دنيا، تلاش مي كند اين مسائل را به بهترين صورت ممكن حل كند. براي اين منظور بايد در هر يك از مراحل بهره وري، روش هاي بهينه سازي اختصاصي را به كار گيرد، اين روشهاي رياضياتي را تحت نام پژوهش عملي يا تحقيق در عمليات دسته بندي مي كنند. اين قلمرو تحت تاثير فشار ناشي از نيازهاي نظامي انگليس و آمريكا در طول دومين جنگ جهاني با شروع كار رايانه ها و روش هاي موسوم به برنامه ريزي خطي به ظهور رسيد، از آن به بعد پژوهش عملي توسعه زيادي يافته و به طور گسترده اي در زندگي موسسات و صنعت نفوذ پيدا كرده است. با توجه به مبالغ و تجهيزات درگير، اين روشها گاهي محرمانه اند.

پژوهش عملي بنا به توقعي كه از آن مي رود بايد بتواند مسائل مربوط به تنظيم برنامه زماني، تعيين وظايف اختصاصي هر واحد، تنظيم مراحل ساخت و غيره را حل كند و به انجام برساند. در اين مسائل تعداد زيادي متغير و قيود دخالت مي كنند وراه حل مسئله بايد به بهترين صورت ممكن، يعني بهترين هزينه، حداقل مدت يا شرايط ديگر انجام شود. يك مثال ساده از پژوهش عملي، مسئله تعيين فعاليت ها در يك موسسه با 50  واحد كاري است، بطوريكه به بهترين وجه ممكن يك كار معين به هر نفر از 50 كارمند با توجه به قابليت هاي هر يك اختصاص يابد. براي بدست آوردن بهترين جواب اين مسئله قطعاً مي توان همه امكانات را از نظر گذراند، هريك را ارزيابي كرد و بعد سود مندترين آنها را انتخاب كرد. درعمل اين راه حل كاملاً مردوداست، چون بايد !50  امكان را بررسي كرد.اما !50 عددبسيار بزرگي است ( تقريباً برابر ۱۰^۶۴ *۳ ) حتي اگر يك رايانه بتواند يك ميليارد امكان را در ثانيه بررسي كند ۱۰^۴۸ سال وقت نياز دارد تمام آن ها را به اتمام برساند،يعني زماني خيلي بيش از عمرتخميني عالم ( تقريباً  ۱۰^۱۰ سال ).

باوجودي كه بيش از پنجاه سال از پيدايش پژوهش عملياتي مي گذرد، پژوهش عملي  هنوز هم يك دانش رياضي   جوان  است: از لحظه اي كه يك روش در يك آزمايشگاه تحقيقاتي ابداع مي شود و زماني كه، پس از گذراندن مرحلهً مراكز بررسي، به مراكز توليدي مي رسد، زماني بيش از سه سال طول نمي كشد . در بخش هوايي  منابع و تجهيزات درگير چنانند كه باعث ايجاد تعداد زيادي شركت هاي مشاور و خدماتي  رياضياتي و رايانه اي شده اند مانند گروه سابر  كه منشعب از تشكيلات پژوهش هاي عملي شركت آمريكن ايرلاينز است، شركت آدوپت منشعب از آزمايشگاه ژراد (گروه مطالعات وتحقيقات در تجزيه و تحليل تصميم ها ) از دانشگاه مونرآل يا شركت هاي فرانسوي مانند اورودسيزيون، ايلوگ يا كوسيتك شده اند . 

بهينه كردن برنامهً پروازها، تخصص يك وسيله به هر پرواز و كمينه كردن زمان هاي عدم تحرك (توقف روي زمين):

براي بهترين استفاده از وسايل ناوگان، يعني مهمترين ثروت يك شركت هواپيمايي، بايد از تنظيم يك برنامهً بهينه به منظور تعمير و نگهداري با تعيين زمان بازديد هاي فني كوچك و بزرگ هر هواپيما شروع كرد. يك هواپيما در زمين هيچ درآمدي ندارد،پس بايد عدم تحرك هر هواپيما را با توجه به ساعات، مهارت هاي كاركنان، در دسترس بودن آشيانه ها به حداقل رسانيد. معادلاتي كه مساله را مطرح مي كنند، خطي نيستند و مشكلاتي به وجود مي آورند، اما اخيراً روش هاي نسبتاً مؤثري براي حل آن ها در اختيار داريم. پس از تشكيل يك شبكه ، ليستي از مسيرها همراه باساعات مربوط،به صورت  تابعي از پيش بيني هاي مربوط به تقاضاي بازار و سهم اختصاص يافته توسط ياتا(شركت ترابري هوايي بين المللي) به هر شركت،مشخص مي كنند كه جه نوع هواپيمايي(مثلاً ارباس340) از نظر فني و اقتصادي براي انجام هر يك از پروازها مناسب ترين است. داده هايي كه وارد برنامه بهينه سازي مي شوند شامل مشخصات هواپيما(ظرافت، كارايي)  پيش بيني هاي مربوط به تعداد مسافرين وغيره هستند. تهيه برنامه پروازها  به فنوني از بهينه سازي نياز دارد  كه در اين زمينه آمارواحتمالات و روش هاي برنامه ريزي خطي  موسوم به برنامه ريزي با اعداد  صحيح (كه درآن مجهول ها  اعداد صحيح اند ) را به كار مي گيرند. پس  از آن  بايد پروازها و عمليات تعمير و نگهداري هر يك از هواپيما ها را طوري به دنبال هم قرار داد  كه تمام شرايط عملياتي ( توالي مجاز يا غير مجاز ، مقررات تعمير و نگهداري و غيره ) با توجه به كمينه كردن نتايج احتمالي خرابي هاي فني و تاخيرهاي پيش بيني نشده به صورتي رضايت بخش انجام شوند . اين مساله بهينه سازي كه به نام طرح چرخش هواپيماها شناخته شده به صورت يك برنامه خطي با عدد صحيح و با ابعاد  بزرگ مدل سازي مي شود . براي اين كه اين مساله به طور دقيق حل شود به كاربرد يك روش تجزيه نياز دارد (تكوين ستون ها ، رها سازي لاگرانژي )، اين مسايل مشكلند و از نقطه نظر رياضي به كمينه يا بيشينه كردن مقاديري كه تابع تعداد زيادي متغيرند ( اغلب چند هزار ، حتي بيشتر ) مربوط مي شوند. با وجود اين ، تلاش هاي پژوهش عملي ثمرات خود را به بار آورده اند ، و امروز الگوريتم هاي خوبي براي اغلب وضعيت ها در دست است .

اما در اين زمينه هيچ كس به نتايج حاصله اكتفا نمي كند و آرام نمي گيرد، چون كارايي مؤسسات تابع آن است ، تحقيقات بايد ادامه يابند .

                                                                                                       ژان _ كريستف كوليولي 

                                                                                                           مدير پژوهش عملي

                                                                                                                        ارفرانس

تلفن همراه امروزه يك وسيلة نسبتاً عادي تلقي مي شود. چه كسي هرگز يك تلفن همراه نديده يا با آن تلفن نزده است؟ اما نادرند كساني كه به موارد علمي و فني دخيل در آن بينديشند.

  امروزه استفاده از تلفن همراه درخيلي ازكشورها بسيارمتداول شده است. مدتي بيش نمي گذرد كه وضعيت به كلي متفاوت بود. در سال 1985 تعداد زيادي سيستمهاي تلفن بي سيم وجود داشت كه توسط توليد كنندگان بزرگ با سوابق تاريخي ملي گسترش يافته و به صورت تجاري در آمده بود. اما اين تلفن ها با يكديگر ناسازگار بودند. به علت آن كه ويژگي هاي فني اين سيستم ها متفاوت بودند و امكان ارتباط از يك شبكه به شبكة ديگر وجود نداشت. براي اين كه بتوان اين سازگاري را محقق ساخت، مي بايست با مجموعه اي از ويژگي هاي فني، يعني يك معيار و رهيافت مشترك توافق كرد. اين امر از حدود دو دهه پيش شروع شد كه در خلال آن معيار GSM (سيستم جهاني ارتباط با تلفن همراه) در اروپا مطرح شد و با ابتكار دو شركت تلفن بزرگ فرانسوي و آلماني تلكوم در آن زمان ابداع گشت. اولين سيستمهاي تجاري مبتني بر اين معيار در آغاز سالهاي1990 به كار گرفته شد و حدود اواسط دهة نود بود كه GSM حقيقتاً به عنوان تنها وسيلة استاندارد واقعي بين المللي تلفن همراه به مرحله ظهور رسيد. رشد كنوني  شبكه هاي تلفن همراه  از نسل سوم، در واقع يك شاهد بارز از اهميتي است كه اين سيستم GSM براي خود كسب كرده است. منظور از پيدايش نسل سوم، سيستم UMTS (سيستم ارتباطي تلفن همراه بين المللي) مي باشد كه حاصل گسترش طبيعي پديدة GSM است.

  استفاده كنندة تلفن همراه به ندرت از پيچيدگي هاي عميق علمي و فني كه در پس شبكه هاي راديو- موبايل نهفته است آگاهي دارد. به عنوان مثال، سيستم GSM حاوي بيش از 5000 صفحه ويژگي هاي تخصصي و فني مي باشد كه خواندن آن حتي براي متخصصين مشكل است !

سيستم GSM بر مجموعه اي از فنون استادانه متكي است كه از ارتباط مخابرات كلاسيك، انفورماتيك، رياضيات و پردازش سيگنال مشتق مي شوند. به ويژه رياضيات و الگوريتم نقش بنيادي در درك و عملكرد خوب ساز وكارهاي داخل شبكه هاي راديو- موبايل ايفا مي كنند. اين رياضيات چنان پايه هاي نظري را تامين مي كند كه بر اساس آن تقريباً تمام مراحل بنيادي پردازش اطلاعات لازم در مديريت يك ارتباط تلفني توسط يك تلفن همراه انجام مي شود.    

براي برقراري يك ارتباط تلفني، هنگامي كه يك كاربر شماره اي را روي دستگاه تلفن مي گيرد، ابتدا تمام داده هاي انتقال يافته در آستانة ورود به يك شبكة راديو- موبايل منحصراً عددي هستند كه در واقع از ((پاكت ها)) يا بسته هايي تشكيل يافته كه يك دنباله اعداد 0 و 1 به طول ثابت است و هر يك چهارم ثانيه گسيل مي شوند و شامل مجموعه اي از اطلاعات (صحبت كردن، شناسايي تلفن همراه، كيفيت دريافت صوتي موبايل و ... ) وابسته به يك ارتباط تلفني معين مي باشند.

علاوه بر مديريت در حركت استفاده كننده، تفاوت عمده بين تلفن همراه و تلفن ثابت كلاسيك مسلماً در اين امر نهفته است كه بسته هاي اطلاعات عددي توسط امواج هرتز منتشر مي شوند نه توسط كابلها. اين امر نياز به راه اندازي يك مجموعه از فنون الگوريتميك و رياضي بسيار ويژه دارد، كه به ترتيب دخالت الگوريتم گسترده، بهينه سازي تركيبي در پردازش عددي سيگنال، هندسه الگوريتميك يا رمز گذاري تصحيح كننده خطاها را شامل مي شود و اين فقط برخي قلمروها را در ميان بسياري ديگر پيش مي كشد.

بسته هاي اطلاعات در واقع به طور ناگهاني منتقل نمي شوند. براي اطمينان از محرمانه بودن  اطلاعات، هر بسته به كمك يك مقاوله نامة رمز گذاري كه ويژة دستگاه مورد نظر است و با استفاده از كليدهاي مخفي مخصوص هر اپراتور(عملگر)، رمزگذاري مي شود(و مي دانيم كه روش هاي رمز گذاري بر مبناي فنون و مفاهيم جبري يا هندسي كه اغلب بسيار پيشرفته هم هستند متكي مي باشند).

دستاورد الگوريتميك و رياضيات، به زنجير پردازش اطلاعات عددي، كه ما به سرعت به آن اشاره كرديم، محدود نمي شود. فنون الگوريتميك به ويژه براي تنظيم موثر فركانس هاي راديويي كه هر اپراتور در اختيار دارد از فنون بنيادي است. سازمان هاي رسمي به هر اپراتور بخشي از نوار فركانسي مورد استفاده اش را اجاره مي دهد كه نسبتاً گران تمام مي شود، با اين وصف، تعداد كمي، حدود 300 فركانس در بطن اين نوار واقعاً قابل استفاده اند. دو ارتباط در يك زمان توسط دو تلفن همراه متفاوت متفاوت، نمي توانند روي فركانس هاي نزديك به هم انجام شوند زيرا تداخل امواج بر كيفيت انتقالات اثر ميگذارد. بنابراين لازم است بدانيم چگونه به طريق بهينه فركانسهاي متداول در ميان استفاده كنندگان را، كه به واقع بيشتر از تنوع فركانسها مي باشند، توزيع كنيم. مي توان نشان داد كه يك نفر نمي تواند اين نوع معادله را در يك زمان معقول حل كند. روش هاي الگوريتميك، به مبناي مدل هاي رياضي، براي اجراي يك برنامه ريزي طراحي شده اند كه بتواند بطور موثر و به طور تقريبي، مسئلة اجاره دادن فركانس ها را حل كند، در اين مورد نظرية گراف ها تعيين كننده بوده اند. تمام اين مسائل از نقطه نظر صنعتي حائز اهميت ويژه اي است، و هنوز موضوع تحقيقات بسيار فعال مي باشد.

                                                     برگرفته از كتاب انفجار رياضيات

برای شروع  معرفی کاربردهای عملی ریاضیات از مسئله ماکزیمم جریان شروع می کنیم که یکی ازمسائل پر کاربرد در شاخه های مختلف از علوم می باشد که برای حل آن ازدو شاخه نظریه گراف و بهینه سازی از گرایشات ریاضیات کاربردی کمک گرفته می شود.( در این میان از دیگر شاخه های ریاضیات به صورت غیر مستقیم نیز کمک گرفته می شود)

مسئله ماکزیمم جریان یکی از مسائل بهینه سازی کلاسیک با کاربردهایی در انتقال جریانهای الکتریکی، مسئله ترافیک، شبکه های ارتباط رایانه ای، شبکه حمل و نقل جاده ای و پهنای وسیعی از علوم و کاربردهای مهندسی می باشد(که در جدول زیر به صورت اجمالی به برخی از آنها اشاره شده است). در این مسئله هدف، بدست آوردن بیشترین مقدار انتقال جریان در یک شبکه از یک مبدأ به یک مقصد مشخص، با توجه به داشتن یک تعداد قیود، می باشد.

برای حل این مسئله الگوریتمهای مختلفی وجود دارد، که با توجه به نوع شبکه می توان از هر کدام  آنها برای حل این مسئله استفاده کرد، همچنین با مدل بندی این مسئله به صورت یک مسئله برنامه ریزی خطی می توان این مسئله را حل کرد. اخیراً با ارائه یک مدل شبکه عصبی برای مسائل برنامه ریزی خطی که این مسئله خود نوعی از آنهاست نیز قادر به حل این مسئله شده اند. جالب است بدانید که برای اولین بار جورج دانتزیگ(G. Dantzig) با استفاده از روش سیمپلکس در حدود سال 1950 توانست این مسئله را حل کند پس از آن اولین الگوریتم برای حل این مسئله توسط فورد و فلکرسون(Ford And Fulkerson) در سال 1956  ارائه شد که با توجه به آن الگوریتمهای متعدد دیگری به وجود آمد که هر کدام دارای مزایا و نواقصی نسبت به الگوریتمهای قبلی بودند.( در جدول  زیر به برخی از این الگوریتمها  اشاره شده است)